7.2 確率分布（二項分布、正規分布、ポアソン分布など）

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AIや機械学習では、データの背後にある確率的性質を理解することが不可欠です。
確率分布は「不確実性を数学的に表現する道具」であり、学習モデルや誤差解析の基盤となります。

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確率分布の基礎

確率変数

• ランダムな事象を数値で表現したもの。
• 例：サイコロの出目、株価の変動。

確率分布

• 確率変数がどの値をどの程度の確率でとるかを定めたもの。
• 確率質量関数（PMF）：離散値（二項分布など）。
• 確率密度関数（PDF）：連続値（正規分布など）。

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二項分布（Binomial Distribution）

定義

• 成功確率 \(p\) の試行を \(n\) 回行ったときの成功回数の分布。

\(P(X = k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}, p^k (1-p)^{,n-k}\)

特徴

• 成功／失敗のような 二値分類 に対応。
• 平均：\(np\)、分散：\(np(1-p)\)。

応用例

• コイン投げで表が出る回数。
• 機械の不良品発生率。

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正規分布（Normal Distribution）

定義

• 平均 \(\mu\)、標準偏差 \(\sigma\) に従う連続分布。

\(f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp!\left( -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} \right)\)

特徴

• 釣鐘型の分布。
• 中心極限定理により、独立変数の和は正規分布に近づく。
• 自然界や社会現象に多く見られる。

応用例

• 身長や体重の分布。
• モデル誤差の分布。

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ポアソン分布（Poisson Distribution）

定義

• 一定時間や一定空間での稀な事象の発生回数を表す分布。
• 平均 \(\lambda\) のとき：

\(P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\)

特徴

• 平均と分散がともに \(\lambda\)。
• 二項分布の極限として導かれる。

応用例

• コールセンターへの着信回数。
• 地震や交通事故の発生回数。
• 医療での稀な病気の発症率。

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まとめ

• 二項分布：成功回数の分布。
• 正規分布：自然界に多い連続分布。
• ポアソン分布：稀な事象の発生回数。

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出題チェック

• 二項分布の平均・分散 → \(np, \ np(1-p)\)
• 正規分布の形を決める要素 → 平均 \(\mu\) と標準偏差 \(\sigma\)
• ポアソン分布の用途 → 稀な事象の回数

練習問題（例題）

問題：あるコールセンターで、1時間あたり平均5件の電話が来る。このとき「1時間にちょうど7件の電話が来る確率」を表す分布はどれか？

1. 二項分布
2. 正規分布
3. ポアソン分布
4. 一様分布

👉 正解：3